Equiprobabilité

En bref

On dit que l'on est en situation d'équiprobabilité si les événements élémentaires ont tous la même probabilité
(Evènement élémentaire, Probabilité)

Introduction

Propriété :
Si $\Omega$ est un ensemble fini $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$, se donner une probabilité sur $(\Omega,{\mathcal P}(\Omega))$ revient à se donner $(P_1,\ldots,P_n)\in[0,1]^n$ tels que $P_1+\ldots+P_n=1$ et à poser $P(\{\omega_i\})=p_i$ pour chaque $i$

si les $p_i$ sont tous égaux : $\forall i\leqslant n$, $p_i=\frac1{\operatorname{Card}\omega}$ et $\forall B\subset A,P(B)=\frac{\operatorname{Card} B}{\operatorname{Card}\Omega}$

Formule

Si on est dans une situation d'équiprobabilité, $${{\Bbb P(A)}}={{\frac{\operatorname{Card} A}{\operatorname{Card}\Omega} }}$$
(Probabilité, Cardinal - Cardinalité, Univers)
Il n'y a jamais équiprobabilité si $\Omega$ est infini
(Univers, Ensemble infini)

Exercices

On relève les dates d'anniversaire dans un groupe de $30$ personnes (jours numérotés de $1$ à $365$)
On suppose que les jours de naissance sont équiprobables
Quelle est la probabilité que deux personnes au moins aient le même anniversaire ?

Définition de $\Omega$
$$\Omega=\{1,2,\ldots,365\}^{30}$$

On a équiprobabilité, donc $$P(A)=\frac{\operatorname{Card} A}{\operatorname{Card}\Omega}$$ avec $A=\{\text{au moins 2 anniversaires tombent le même jour}\}$

Cardinal de $A$

$A^C=\{30 \text{ anniversaires différents dans le groupe}\}$
$$\operatorname{Card} A^C=\binom{30}{365}\times30!=\frac{365!}{335!}=365\times364\times\ldots\times336=\prod^{365}_{i=336}i$$ et donc $\operatorname{Card} A=365^{30}\frac{365!}{335!}$ et $$P(A)=\frac{\operatorname{Card} A}{\operatorname{Card}\Omega}=1-\frac{365!}{335!\,365^{30}}\simeq0,7063$$

(Coefficient binomial)

Une secrétaire un peu distraite a tapé $N$ lettres et préparé $N$ enveloppes portant les adresses des destinataires, mais elle répartir au hasard les lettres dans les enveloppes
Pour modéliser cette situation, on choisit comme espace probabilité $\Omega_N$ ensemble de toutes les permutations sur $\{1,\ldots,N\}$ muni de l'équiprobabilité $P_N$
Pour $1\leqslant j\leqslant N$, on note $A_j$ l'événement "la $j$-ième lettre se trouve dans la bonne enveloppe"

Calculer $P_N(A_j)$
On fixe $k$ entiers $i_1\lt \ldots\lt i_k$ entre $k$ et $N$. Dénombrer toutes les permutations $\sigma$ sur $\{1,\ldots,N\}$ telles que $\sigma(i_1)=i_1,\ldots,\sigma(i_k)=i_k$. En déduire $P_N(A_{i_1}\cap\ldots,\cap A_{i_k})$
On note $B$ l'événement au moins une des lettres est dans la bonne enveloppe. Exprimer $B$ à l'aide des $A_j$
Utiliser la formule de Poincaré pour calculer $P_N(B)$ et sa limite quand $N$ tend vers l'infini

$P_N(A_j)$ via équiprobabilité
Il y a équiprobabilité sur $\Omega_N$, donc $$P_N(A_j)=\frac{\operatorname{Card} A_j}{\operatorname{Card}\Omega_N}=\frac{(N-1)!}{N!}=\frac1N$$

$P_N(A_{i_1}\cap\ldots,\cap A_{i_k})$ via équiprobabilité
$$P_N(A_{i_1}\cap\ldots,\cap A_{i_k})=\frac{\operatorname{Card}(A_{i_1}\cap\ldots,\cap A_{i_k})}{\operatorname{Card}\Omega_N}=\frac{(N-k)!}{N!}$$

$$B=\bigcup_{j=1}^NA_j$$

Calcul de $P_N(B)$ via Poincaré en équiprobabilité
$$\begin{align} P_N(B)&=\sum^N_{k=1}(-1)^{k+1}\binom Nk\frac{(N-k)!}{N!}\\ &=\sum^N_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{k!}\end{align}$$

Or, puisque $e^x=\sum^{+\infty}_{k=0}\frac{x^k}{k!}$, alors $$\lim_{N\to+\infty}P_N(B)=-\left( e^{-1}-\frac{(-1)^0}{0!}\right)=1-\frac1e\simeq63\%$$

(Coefficient binomial, Formule du crible (N événements))

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